公司通常没有责任。下班后脑梗属非工伤情形，公司不担责。法律依据表明，只有认定工伤时公司才需负责，而下班后突发脑梗不属于此范畴。《工伤保险条例》明确了工伤认定条件。若不及时处理此问题，可能导致员工与公司产生不必要的纠纷，影响公司声誉。
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分情况处理。若是工作导致的脑梗，如加班后突发，公司需按工伤处理；若非工作相关，如下班后在家突发，公司无需担责，但可给予适当关怀。具体需根据脑梗发生的时间、地点及原因来判断公司是否应负责。
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常见处理方式是先明确脑梗是否与工作有关。若属工作原因，可按工伤流程处理，公司需负责；若非工作原因，公司可给予一定的人文关怀，但无需承担法律责任。选择处理方式时，需根据实际情况判断是否与工作相关，再决定公司是否应承担责任。